Информация о задаче

Задача 86965

Тема:

[

Признаки перпендикулярности

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна a и составляет с одной гранью угол 30^o, а с другой 45^o. Найдите его объем.

Подсказка

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, в котором BD₁ = a. Тогда AD₁ и CD₁ - ортогональные проекции наклонных BD₁ и CD₁ на плоскости AA₁D₁D и DD₁C₁C соответственно..

Решение

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, в котором BD₁ = a. Прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым AD и AA₁ плоскости AA₁D₁D, поэтому прямая AB перпендикулярна плоскости AA₁D₁D. Значит, AB $\perp$ AD₁ и AD₁ - ортогональная проекция наклонной BD₁ на плоскость AA₁D₁D. Аналогично докажем, что CD₁ - ортогональная проекция наклонной BD₁ на плоскость DD₁C₁C. Тогда AD₁B и CD₁B - углы прямой BD₁ с плоскостями AA₁D₁D и DD₁C₁C соответственно.

Пусть $\angle$ AD₁B = 30^o, $\angle$ CD₁B = 45^o. Из прямоугольных треугольников ABD₁, BCD₁ и CDD₁ находим, что

AB = BD₁^.sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a, BC = BD₁^.sin 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

CD₁ = BD₁^.cos 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

DD₁ = $\displaystyle \sqrt{CD^{2} - CD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{CD^{2} - AB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2}/2 - a^{2}/4}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a.

Следовательно,

V(ABCDA₁B₁C₁D₁) = AB^.BC^.DD₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ a³ $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ a³ $\displaystyle \sqrt{2}$

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7162