ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86114
Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что  A3B4 || AB.


Решение 1

  Поскольку  AB = BB1BC = BB2  и  ∠B1BB2 = π − ∠ABC,  то  SABC = SBB1B2.  Аналогично,  SB1A2A3 = SAA1A2 = SABC = SBB1B2 = SB1A2B4.  Следовательно,
A3B4 || A2B1 || AB.


Решение 2

  Заметим, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, перпендикулярна отрезку A1A2 и равна его половине. Действительно, если D – четвёртая вершина параллелограмма ABDC, то треугольник ABD является образом треугольника A2AA1 при повороте на 90° вокруг центра квадрата ABB1A2.

  Аналогично, отрезок A3A2 параллелен медиане треугольника ABC, проведённой из вершины B, и вдвое длиннее её. Поэтому
   

Замечания

Таким образом, мы доказали не только утверждение задачи, но и равенство  A3B4 = 4AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .