|
|
 |
Условие
Последовательность натуральных чисел {xn} строится по следующему правилу: x1 = 2, xn+1 = [1,5xn]. Доказать, что в последовательности {xn} бесконечно много
а) нечётных чисел;
б) чётных чисел.
Решение
Предположим, что число xn чётно. Тогда его можно представить в виде xn = 2ma, где a нечётно и m ≥ 1. В таком случае xn+1 = 2m−1(2a + a) = 2m−1a1, где число a1 нечётно. Следовательно, число xn+m нечётно.
Предположим теперь, что число xn нечётно. Тогда его можно представить в виде xn = 2ma + 1, где a нечётно и m ≥ 1. В этом случае
xn+1 = 2m−1(2a + a) + 1 = 2m−1a1 + 1, где число a1 нечётно. Следовательно, число xn+m чётно.
Таким образом, после каждого чётного числа в последовательности {xn} обязательно встретится нечётное, а после нечётного – чётное. Поэтому в последовательности бесконечно много как чётных, так и нечётных чисел.
Замечания
Ср. с задачей 79347.
