Задача 79287

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Принцип крайнего ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Решение

Диагоналей, параллельных данной стороне, не более  n – 2  (через самую дальнюю от стороны вершину не может проходить параллельная этой стороне диагональ). Потому всего диагоналей, параллельных сторонам, не более  2n(n – 2),  что меньше числа  n(2n – 3)  всех диагоналей 2n-угольника (см. задачу 60391).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	1
Название	Конечное число точек, прямых и т.д.
Тема	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)
задача
Номер	21.012
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2