ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78686
Тема:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
Сложность: 4+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматривается система уравнений:

Докажите, что при некоторых k такая система имеет решение.


Решение

  Рассмотрим сначала систему уравнений   .   Будем искать решение этой системы в следующем частном виде:
x1 = x2 = λ,  x3 = μ.  Для λ и μ мы получаем уравнения  2λ + μ = 0,  λ3 + μ3 = 1,  откуда находим  μ = – 2λ  и  – 6λ3 = 1.
  Рассмотрим затем систему уравнений  .  Пусть  u = (t1, t2, t3)  – решение предыдущей системы. Будем искать решение новой системы в следующем виде:  (x1, x2, x3) = (x4, x5, x6) = λu,  (x7, x8, x9) = μu.  Первое уравнение выполняется автоматически, а следующие два уравнения выполняются тогда и только тогда, когда  2λ3 + μ3 = 0  и  2λ5 + μ5 = 1,  то есть  μ = – λ  и  λ5(2 – ) = 1.
  Дальше мы поступаем аналогично: каждый раз добавляем одно уравнение и утраиваем число переменных. При этом для λ и μ получаем соотношения
μ = – λ  и  λ2k+1(2 – ) = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 31
Год 1968
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .