ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78145
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3$ \sqrt{2}$, 5, 4$ \sqrt{2}$. Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S$ \ge$10.

Решение

Аналогично решению задачи 5 для 8 класса устанавливается, что искомый многоугольник М заключается внутри пересечения Q = Р $ \cap$ р; при этом, поскольку М проектируется в четырёх направлениях отрезками заданной в условии длины, то он имеет точки на всех восьми сторонах восьмиугольника Q $ \equiv$ RTUVWXYZ. Обозначим эти восемь точек последовательно через r, t, u, v, w, x, y и z (рис. ???; не исключено, что некоторые из названных точек совпадут с вершинами Q или между собой); так как многоугольник М выпуклый, то он обязательно будет содержать внутри выпуклый восьмиугольник q = rtuvwxyz (который также может фактически иметь меньше восьми сторон!), возможно, совпадая с ним. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы установить, когда будет наименьшей площадь q. Заметим прежде всего, что если вершины t и z восьмиугольника q закреплены, то, стремясь уменьшить площадь $ \Delta$zrt, мы всегда можем сдвинуть r в одну из вершин R или Т восьмиугольника Q. В самом деле, если z не совпадает с R и t не совпадает с T, то в случае, когда zt $ \nparallel$ RT, площадь $ \Delta$zrt будет меньше всего при совпадении r с тем из концов отрезка RT, который ближе к прямой zt; если же zt || RT, то площадь $ \Delta$zrt вовсе не зависит от положения точки r на RT, и мы снова можем считать эту точку совпадающей с R или с T. Аналогично, если z совпадает с R или t совпадает с T, то (равный нулю) минимум площади $ \Delta$zrt достигается, когда r совпадает с той же точкой; если же и r совпадает с R и t с T, то нам безразлично, где расположить (фиктивную!) `` вершину'' r восьмиугольника q, и мы можем свободно считать её совпадающей с R или с Т. Разумеется, это рассуждение сохраняет силу и в применении к любой другой вершине восьмиугольника q, так что можно смело считать, что все вершины q совпадают с какими-то вершинами Q. Но этим наши заключения о виде восьмиугольника q наименьшей возможной площади не ограничиваются. Предположим, например, что вершина r этого многоугольника совпадает с вершиной R многоугольника Q (рис. ???). Ясно при этом, что если y совпадает с Y, то площадь $ \Delta$yzr будет меньше всего (а именно будет равен нулю), если также и вершина z восьмиугольника q совпадёт с той же точкой R; если же у $ \equiv$ Z, то мы также можем считать, что (фиктивная) вершина z совпадает с R. Далее ясно, что если y совпадает с Y, то по тем же соображениям и x совпадёт с Y; точно так же, если х совпадает с Y, то и у совпадёт с Y; поэтому либо обе точки х и y совпадают с Y (рис. ???), либо у совпадает с Z, а х — с X, причём в последнем случае точка w тоже должна совпасть с X (рис. ???). Точно так же устанавливается, что либо точки t и u обе совпадают с U, либо t совпадает с T и тогда точки u и v обе должны совпасть с V. Таким образом, если точки r и z совпадают с R, точки х и у — с Y, а точки t и u — с U, то либо две оставшиеся вершины v и w восьмиугольника q обе совпадают с W (рис. ???), либо v совпадает с V, a w - с X (рис. ???). Если точки r и z совпадают с R, точки х и у — с Y, точка t — с T и точки u и v — с V, то в случае, когда точка w совпадает с W, мы приходим к пятиугольнику RTVWY во всем подобному пятиугольнику рис. ???; если же точка w совпадает с X, то `` восьмиугольник'' q обращается в пятиугольник RTVXY того же типа, что и два предшествующие. Наконец, случай, когда точки r и z совпадают с R, точка y - с Z, точки х и w — с X, точка t — с Т, а точки u и v — с V (рис. ???), является невозможным, ибо при этом мы можем еще уменьшить площадь (вырожденного) `` восьмиугольника'' q $ \equiv$ RTVXZ, совместив z с Z и r — с T. Поэтому интересующий нас восьмиугольник q обязательно будет вырожденным, а именно, он будет представлять собой четырёхугольник типа RUWY (рис. ???) или TVXZ, либо пятиугольник типа RUVXY (рис. ???). Рассмотрим эти два случая последовательно. Более простым из них является тот случай, когда `` восьмиугольник'' q наименьшей площади обращается в четырёхугольник RUWY или TVXZ. Дело в том, что площади четырёхугольников RUWY и TVXZ вовсе не зависят от взаимного расположения прямоугольников p и P. В самом деле, пусть AB = а(= 5) и AD = b(= 4) — стороны прямоугольника P; отрезки сторон этого прямоугольника, отсекаемые сторонами прямоугольника p, обозначим через $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и $ \delta$, как это указано на рис. ???. В таком случае

SRUWY = SABCD - SBWY - SCYR - SDRU (34)
  = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(a - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \delta$] (35)
  = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[a($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$) + b($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$) - ($\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \gamma$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta$$\displaystyle \alpha$)] (36)
  = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)a + ($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)b - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)]. (37)

Но

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{2}$(hA + hC) = $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ = 3

и

$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle \sqrt{2}$(hB + hD) = $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 1,

откуда и следует, что

SRUWY = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(3 . 5 + 1 . 4 - 3 . 1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 16 = 12

независимо от расположения прямоугольников p и P. Точно так же устанавливается, что

STVXZ = SABCD - SATV - SBVX - SCXZ - SDZT (38)
  = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(b - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + (a - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \beta$ + (b - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$] (39)
  = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)a + ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)b - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)], (40)

т.е.

STVXZ = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(1 . 5 + 3 . 4 - 3 . 1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 14 = 13.

Перейдём теперь к тому случаю, когда `` восьмиугольник'' q фактически является пятиугольником (ср. рис. ???). Одна сторона этого пятиугольника целиком принадлежит стороне р и одна — стороне Р; рассматривая отдельно случаи, когда сторона q принадлежит большей и меньшей стороне р и когда сторона q принадлежит большей и меньшей стороне Р, мы получим следующие четыре типа рассматриваемых пятиугольников.
  1. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — большей стороне p (скажем, стороне cd; рис. ??? а). В этом случае, очевидно, имеем

    Sq = SABCD - SATV - SBWY - SCYZ - SDZT (41)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(b - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$] (42)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)b + $\displaystyle \delta$a - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$], (43)

    или, поскольку a = 5, b = 4, $ \alpha$ + $ \gamma$ = 3 (т.е. $ \alpha$ = 3 - $ \gamma$) и $ \beta$ + $ \delta$ = 1 (т.е. $ \beta$ = 1 - $ \delta$),

    Sq = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$) . 4 + $\displaystyle \delta$ . 5 - 3$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$] (44)
      = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[16 - 5$\displaystyle \gamma$ - 2$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + $\displaystyle \delta$$\displaystyle \gamma$] (45)
      = 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[2$\displaystyle \delta$ + (5 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$] $\displaystyle \geq$ 12, (46)

    ибо $ \delta$ $ \geq$ 0, $ \gamma$ $ \geq$ 0 и $ \gamma$ + $ \delta$ < 5 (так как $ \gamma$ $ \leq$ 3 и $ \delta$ $ \leq$ 1).
  2. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — меньшей стороне p (стороне ad; рис. ???). В этом случае имеем

    Sq = SRTVWY = SABCD - SATV - SBWY - SCYZ - SDRT (47)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(b - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$] (48)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)b + $\displaystyle \gamma$a - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$] (49)
      = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$) . 4 + $\displaystyle \gamma$ . 5 - 3$\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$] (50)
      = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[16 - 7$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$] = 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(7 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \delta$ $\displaystyle \geq$ 12, (51)

    так как $ \delta$ $ \geq$ 0 и, очевидно, $ \gamma$ + $ \delta$ < 7.
  3. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника p (скажем, стороне ab), а другая — меньшей стороне прямоугольника P (стороне BC; см. рис. ???). Тогда

    Sq = SRUVXY = SABCD - SAUV - SBVX - SCYR - SDRU (52)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[$\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \delta$] (53)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$)a + $\displaystyle \delta$b - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$] (54)
      = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$) . 5 + $\displaystyle \delta$ . 4 - 3$\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$] (55)
      = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 6$\displaystyle \alpha$ - 4$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$] (56)
      = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 6$\displaystyle \alpha$ - 4$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$] (57)
      = 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[4$\displaystyle \delta$ + (6 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$] $\displaystyle \geq$ 10, (58)

    поскольку $ \delta$ $ \geq$ 0, $ \alpha$ $ \geq$ 0 и, разумеется, $ \alpha$ + $ \delta$ < 6.
  4. Одна сторона пятиугольника q принадлежит меньшей стороне прямоугольника P (скажем, стороне AD), другая — меньшей стороне прямоугольника p (стороне bc; см. рис. ???). В этом случае получаем

    Sq = STUWXZ = SABCD - SAUW - SBWX - SCXZ - SDZT (59)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(a - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + (b - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$] (60)
      = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$)a + $\displaystyle \gamma$b - ($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$] (61)
      = 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$) . 5 + $\displaystyle \gamma$ . 4 - $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - (3 - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$] (62)
      = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 8$\displaystyle \beta$ - 2$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$] (63)
      = 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[2$\displaystyle \gamma$ + (8 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$] $\displaystyle \geq$ 10, (64)

    ибо $ \beta$ $ \geq$ 0, $ \gamma$ $ \geq$ 0 и, разумеется, $ \beta$ + $ \gamma$ < 8.
Таким образом, во всех случаях Sq $ \geq$ 10; равенство Sq = 10 имеет место, например, если в условиях рис. ??? $ \alpha$ = $ \delta$ = 0 (рис ???). В этом случае восьмиугольник Q вырождается в пятиугольник, а q вырождается в треугольник (почему?).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .