ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73609
Темы:    [ Многочлены (прочее) ]
[ Замена переменных ]
[ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (xa/2)².


Решение

Положим  b = a/2t = x – b  и  q(t) = p(b + t).   q(– t) = p(b – t) = p(2b – x) = p(x) = p(b + t) = q(t)  (то есть q – чётная функция). Значит,
q(t) = ½ (q(t) + q(– t)).   При сложении q(t) и q(– t) все нечётные степени , очевидно, сократятся, то есть  q(t) = h(t²). Следовательно,
p(x) = q(t) = h(t²) = h((x – b)²).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М74

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .