ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73552
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
  Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

Решение

  Пусть A – развилка дорог, B – деревня N, C – село NN, D – точка, где правая дорога выходит на железнодорожное полотно.
  Пусть прямая BC пересекает AD в точке E, тогда  ∠CED = 30°.  AD = DC,  поэтому  ∠CDE = 2 ∠CAD < 2 ∠BAD = 120°,
DCE = 180° – ∠CDE – ∠CED > 30° = ∠CED.  Следовательно,  DC < DE,  и  2AD = AD + DC < AD + DE = AE = 2AB.
  Так как  AB + BC = AD + DC,  то согласно задаче 32883  SABC < SADC.  Как показано выше,  AD < AB,  значит,  ∠BAC < ∠DAC,  то есть
BAC < 30°.  Следовательно,  
  Докажем, что длина всего пути больше 10. Для этого достаточно проверить, что  AD > 5.

  Первый способ. Пусть  ∠BAC = α,  ∠CAD = β.  Тогда  cos α cos β = ½ (cos (α – β) + cos 60°) ≥ ¾.  Из треугольника ADC получаем:   

  Второй способ. Пусть  AD = x,  тогда  BC = 2x – 8.  По теореме косинусов (из треугольника  ABD)  BD² = x² + 64 – 8x.  С другой стороны, неравенство треугольника дает  BD < BC + CD = 3x – 8,  откуда  x² + 64 – 8x < (3x – 8)²,  8x² > 40x,  то есть  x > 5.


Ответ

По дорогам – больше 10 вёрст, напрямик – меньше.

Замечания

Ср. с решением в Задачнике "Кванта".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М17

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .