Задача 67098

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Saghafian M.

На плоскости даны восемь точек общего положения. В ряд выписали площади всех 56 треугольников с вершинами в этих точках. Докажите, что между выписанными числами можно поставить знаки «$+$» и «$-$» так, чтобы полученное выражение равнялось нулю.

Решение

Заметим, что утверждение задачи верно для любых четырех точек. Действительно, если точки образуют выпуклый четырехугольник $ABCD$, то $S_{ABC}+S_{ACD}-S_{BCD}-S_{ABD}=0$. Если же точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $S_{ABC}-S_{ABD}-S_{ACD}-S_{BCD}=0$.

Поставим теперь в соответствие данным точкам вершины куба $ABCDA'B'C'D'$ и рассмотрим следующие 14 четверок его вершин: шесть граней куба, шесть сечений, проходящих через противоположные ребра, и два вписанных в куб тетраэдра $AB'CD'$, $A'BC'D$. Любые две из этих четверок имеют не больше двух точек, значит, каждый из 56 треугольников входит ровно в одну четверку. Поэтому, расставив знаки для каждой четверки, мы получим искомую расстановку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	13 [8-11 кл]