ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65840
Темы:    [ Наглядная геометрия ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Пети есть n³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб n×n×n, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  n = 2;   б)  n = 3.


Решение

  a) Достаточно закрасить две противоположные грани одного кубика.
  Одной закрашенной грани не хватит: Петя "спрячет" её внутрь.

  б) Васе достаточно полностью закрасить два кубика – оба внутрь не спрячешь.
  Пусть им окрашены только 11 граней. Расположим кубики в порядке убывания количества окрашенных граней. Только первый может быть окрашен полностью, а две или более окрашенные грани могут быть лишь у первых пяти. Спрячем первый в центре большого куба, а следующие шесть поместим в центрах его граней "белым наружу". У каждого из оставшихся кубиков окрашено не более одной грани, а её всегда можно повернуть внутрь.


Ответ

a) 2 грани;  б) 12 граней.

Замечания

баллы: 2 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .