ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64805
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Радикальная ось ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC


Решение 1

Пусть M, N – середины AB, CD соответственно. Тогда степень точки K относительно окружности с диаметром AB равна  KM² – MA² = ¼ (CB² – AB²),  а относительно окружности с диаметром CD –  ¼ (AD² – CD²).  Так как  AB² + AD² = BD² = BC² + CD²,  эти степени равны, то есть точка K лежит на радикальной оси XY двух окружностей.


Решение 2

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке Z. Центры данных в условии окружностей ω1 и ω2 – середины M и N отрезков AB и CD. Пусть ω – окружность ABCD с диаметром BD. Тогда AB – радикальная ось окружностей ω и ω1, CD – радикальная ось окружностей ω и ω2, а XY – радикальная ось окружностей ω1 и ω2, значит XY проходит через Z. Теперь достаточно доказать, что  ZKMN.  Но  MK || BCZN  и  NK || ADZM.  Следовательно, K – ортоцентр треугольника MZN, и  ZKMN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .