Задача 64772

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кунгожин М.

Треугольник ABC  (AB > BC)  вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что  AM = CN.  Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Решение

  Пусть S – середина дуги ABC окружности Ω. Тогда  SA = SC,  AM = CN  и  ∠BCS = ∠BAS. Значит, треугольники AMS и CNS равны, и они совмещаются поворотом Ф с центром в точке S на угол  ∠ASC = ∠ABC.  Отсюда, в частности, следует, что  SM = SN  и  ∠MSN = ∠ABC.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник MSBN вписан в некоторую окружность γ (см. рис.).

  Описанные окружности Ω_a и Ω_c треугольников AMS и CNS, также совмещаются поворотом Ф. Пусть U и V – середины дуг AM и CN (не содержащих S) этих окружностей. Тогда  SU = SV  (то есть точка S лежит на серединном перпендикуляре к UV) и  UA = VC.  Из окружностей Ω и γ имеем
∠SAK = ∠SBC = ∠SMK,  то есть K лежит на Ω_a. Аналогично K лежит на Ω_c.
  Отсюда следует, что точки U и V вместе с точками P и Q лежат на биссектрисе угла ∠CKN. По лемме о трезубце для треугольников KAM и KCN (см. задачу 55381)  UP = UA  и  VQ = VC.  Так как  UA = VC,  это означает, что точки P и Q симметричны относительно серединного перпендикуляра к UV, на котором лежит точка S. Значит, S равноудалена от P и Q.

  Второй способ. Пусть R и T – середины отрезков AC и MN соответственно. Из равнобедренных треугольников SAC и SMN имеем  ∠SRK = ∠STK = 90°,  то есть точки R и T лежат на окружности Г с диаметром SK. Пусть Г вторично пересекает биссектрису KQ угла AKM в точке D. Тогда  DR = DT  и  ∠ARD = ∠DTN.

  Пусть P₁ и P₂ – точки касания вписанной окружности треугольника AKM с прямыми KA и KM соответственно, а Q₁ и Q₂ – точки касания вневписанной окружности треугольника CKN с теми же прямыми. Тогда  RP₁ + TP₂ = RA + AP₁ + MP₂ + TM = RA + AM + TM.  Аналогично
RQ₁ + TQ₂ = RC + CN + TN,  откуда  RP₁ + TP₂ = RQ₁ + TQ₂.
  С другой стороны, из симметрии  RP₁ + RQ₁ = P₁Q₁ = TP₂ + TQ₂.
  Из полученных равенств следует, что  RP₁ = TQ₂  и  RQ₁ = TP₂.
  Итак,  DR = DT,  RP₁ = TQ₂  и  ∠P₁RD = ∠Q₂TD . Значит, треугольники DTQ₂ и DRP₁ равны, и  DP₁ = DQ₂.  Поскольку из симметрии  DQ₂ = DQ₁,  треугольник DP₁Q₁ равнобедренный, его высота, опущенная из вершины D, является медианой, и поэтому она также является средней линией прямоугольной трапеции PQQ₁P₁. Значит,  DP = DQ,  и в треугольнике PSQ высота SD является медианой. Отсюда  SP = SQ.

Замечания

Точка S – это точка Микеля для четвёрки прямых BA, BC, AC, MN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4