ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64535
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN, а из вершины D – высоты DP и DQ.
Докажите, что точки M, N, P и Q являются вершинами прямоугольника.


Решение

Пусть, для определённости, точка N лежит на прямой AD, а точка Q – на прямой AB (см. рис.). Тогда диагонали BD и PN прямоугольника PBND равны и пересекаются в их общей середине O. Аналогично, диагонали BD и QM прямоугольника QBMD равны и пересекаются в их общей середине O. Значит, и диагонали PN и QM четырёхугольника PQNM равны и пересекаются в их общей середине O. Следовательно, PQNM – прямоугольник.

Замечания

1. Предложенное рассуждение справедливо независимо от того, попадают ли основания высот на стороны параллелограмма или на продолжения сторон.

2. Возможны и другие способы решения, в частности, использующие вспомогательные окружности и вписанные углы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .