Задача 61095

Тема:    [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что многочлен  x⁴⁴ + x³³ + x²² + x¹¹ + 1  делится на   x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Решение

Заметим, что все многочлены вида  x⁵ⁿ – 1  делятся на  x⁵ – 1  и, тем более, на  x⁴ + x³ + x² + x + 1.  Значит, на  x⁴ + x³ + x² + x + 1  делится и многочлен
x⁴⁴ + x³³ + x²² + x¹¹ + 1 = x⁴(x⁴⁰ – 1) + x³(x³⁰ – 1) + x²(x²⁰ – 1) + x(x¹⁰ – 1) + (x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.031
web-сайт
задача