Задача 60663

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Десятичная система счисления ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что  7⁷⁷⁷⁷ – 7⁷⁷⁷  делится на 10.

Решение

Заметим, что  7⁷⁷⁷⁷ – 7⁷⁷⁷ ≡ (–1)⁷⁷⁷⁷ – (–1)⁷⁷⁷ = 0 (mod 4),  а разность  7^4k+n – 7ⁿ = 7ⁿ(7^4k – 1)  делится на  7⁴ – 1 = (7² – 1)(7² + 1) = 48·50.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.037