Информация о задаче

Задача 58474

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

Решение

Точки (x', y') и (x'', y'') пересечения эллипса ${\frac{x^2}{a^2}}$ + ${\frac{y^2}{b^2}}$ = 1 и прямой y = px + q найдем, решив квадратное уравнение

$\displaystyle {\frac{x^2}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{(px+q)^2}{b^2}}$ = 1.

По теореме Виета (x' + x'')/2 = - a²pq/(b² + a²p²) и, значит,

$\displaystyle {\frac{y'+y''}{2}}$ = p $\displaystyle {\frac{x'+x''}{2}}$ + q = $\displaystyle {\frac{b^2q}{b^2+a^2p^2}}$ .

Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой y = px, лежат на прямой y = - ${\frac{b^2}{a^2}}$ px.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.007