Условие
Может ли конечный набор точек содержать для
каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на
расстояние 1?
Решение
Да, может. Докажем это утверждение индукцией,
заменив 100 на
n. При
n = 1 можно взять концы отрезка
длиной 1. Предположим, что утверждение доказано для
n
и
A1,...,
Ak — нужный набор точек. Пусть
A1',...,
Ak' —
образы точек
A1,...,
Ak при параллельном переносе на
единичный вектор
a. Для доказательства шага индукции единичный
вектор
a достаточно выбрать так, что
a
и
AjAi'
1 при
ij, т. е.
|
+
a|
1
при
ij. Каждое из этих ограничений исключает
из единичной окружности не более одной точки.
Источники и прецеденты использования