Задача 58241
|
|
 |
Условие
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии; 2) F можно разрезать на параллелограммы.Решение
Рассмотрим выпуклый многоугольник A1...An. Докажем, что каждое из свойств 1 и 2 эквивалентно свойству 3: "Для любого вектораЯсно, что из свойства 1 следует свойство 3. Докажем, что из свойства 3 следует свойство 1. Если выпуклый многоугольник A1...An обладает свойством 3, то n = 2m и
Докажем, что из свойства 2 следует свойство 3. Пусть выпуклый многоугольник F разрезан на параллелограммы. Нужно доказать, что для любой стороны многоугольника F найдется другая сторона, параллельная и равная ей. От каждой стороны многоугольника F отходит цепочка параллелограммов, т. е. эта сторона как бы перемещается по ним параллельно, причем она может разбиваться на несколько частей (рис.). Так как у выпуклого многоугольника может быть еще только одна сторона, параллельная данной, то все разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону, причем ее длина не меньше длины стороны, из которой цепочка выходит. Мы можем выпустить цепочку параллелограммов как из первой стороны во вторую, так и из второй в первую, поэтому длины этих сторон равны.
Остается доказать, что из свойства 3 следует свойство 2. Способ разрезания многоугольника с равными и параллельными противоположными сторонами указан на рис. После каждой такой операции получаем многоугольник с меньшим числом сторон, по-прежнему обладающий свойством 3, и проделываем с ним то же самое, пока не придем к параллелограмму.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 25 |
| Название | Разрезания, разбиения, покрытия |
| Тема | Разрезания, разбиения, покрытия и замощения |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Разрезания на параллелограммы |
| Тема | Разрезания на параллелограммы |
| задача | |
| Номер | 25.001.1 |
