Задача 57468

Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁ и C₁. Пусть  a = S_AB1C1, b = S_A1BC1, c = S_A1B1C и  u = S_A1B1C1. Докажите, что

u³ + (a + b + c)u² 4abc.

Решение

Можно считать, что площадь треугольника ABC равна 1. Тогда a + b + c = 1 - u, поэтому данное неравенство перепишется в виде  u² 4abc. Пусть  x = BA₁/BC, y = CB₁/CA и z = AC₁/AB. Тогда  u = 1 - (x + y + z) + xy + yz + zx и  abc = xyz(1 - x)(1 - y)(1 - z) = v(u - v), где v = xyz. Поэтому мы переходим к неравенству  u² 4v(u - v), т. е.  (u - 2v)² 0. Последнее неравенство очевидно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.057