ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57044
Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Решение

Достаточно проверить, что ортоцентры любых трех из данных четырех треугольников лежат на одной прямой. Пусть некоторая прямая пересекает прямые  B1C1, C1A1 и A1B1 в точках A, B и C соответственно; A2, B2 и C2 — ортоцентры треугольников  A1BC, AB1C и ABC1. Прямые AB2 и A2B перпендикулярны прямой A1B1, поэтому они параллельны. Аналогично  BC2| B2C и  CA2| C2A. Точки A, B и C лежат на одной прямой, поэтому точки A2, B2 и C2 тоже лежат на одной прямой (см. задачу 1.12, б)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 2
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (прочее)
задача
Номер 06.033

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .