Информация о задаче

Задача 56705

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 8
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; $\varphi$ = $\angle$ ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg² ${\frac{\varphi }{2}}$ . Докажите также, что r = r₁cos² ${\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin² ${\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Решение

Пусть E₁ и E₂ — основания перпендикуляров, опущенных из точек I₁ и I₂ на прямую AC. Согласно задаче 3.46 точка I является точкой пересечения прямой, проходящей через точку E₁ и точку касания прямой BD и окружности S₁, и прямой, проходящей через точку E₂ и точку касания прямой BD и окружности S₂. Пусть F₁ — точка пересечения прямых E₁I₁ и E₂I, F₂ — точка пересечения прямых E₂I₂ и E₁I. Ясно, что DI₁ $\bot$ E₁I, DI₂ $\bot$ E₂I и DI₁ $\bot$ DI₂. Поэтому I₁D || F₁E₂ и I₂D || F₂E₁. Следовательно, E₁I₁ : I₁F₁ = E₁D : DE₂ = F₂I₂ : I₂E₂. Это означает, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причем

I₁I : II₂ = E₁F₁ : E₂F₂ = E₁E₂tg $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ : E₁E₂ctg $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ = tg² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ .

Пусть E — проекция точки I на прямую AC. Тогда r = IE. Согласно задаче 1.1 б)

IE = $\displaystyle {\frac{I_1E_1{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}+I_2E_2{\rm tg}\frac{\varphi }{2}}{{\rm tg}\frac{\varphi }{2}+{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}}}$ = r₁cos² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.047B