ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55540
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.


Подсказка

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой; периметры равновеликих треугольников с равными вписанными окружностями равны между собой.


Решение

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан ma и mb. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ma.    (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a и mb, второй — b и ma). Поэтому периметры этих треугольников равны, т.е.

a + mb + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b = b + ma + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + ma.             (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что a = b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4863

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .