ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55512
Темы:    [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC = CD, M — точка пересечения диагоналей, K — точка точка пересечения биссектрис углов A и D. Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.


Подсказка

Докажите, что $ \angle$AKD = $ \angle$AMD.


Решение

Если CD || AB, то утверждение очевидно, т.к. в этом случае четырёхугольник ABCD — ромб.

Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке P, причём точки P и M лежат по одну сторону от прямой AD. Поскольку четырёхугольник ABCD — выпуклый, то точка K лежит в той же полуплоскости.

Обозначим

$\displaystyle \angle$APB = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$CDB = $\displaystyle \gamma$.

Тогда

$\displaystyle \angle$AKD = 90o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$$\displaystyle \angle$PBC = 2$\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$BCD = 2$\displaystyle \gamma$,

$\displaystyle \alpha$ + 2$\displaystyle \beta$ + 2$\displaystyle \gamma$ = 180o$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ = 90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$,

$\displaystyle \angle$AMD = $\displaystyle \angle$BAC + $\displaystyle \angle$ABM = $\displaystyle \beta$ + (180o - 2$\displaystyle \beta$) - $\displaystyle \gamma$ =

= 180o - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ = 90o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$,

Поэтому $ \angle$AKD = $ \angle$AMD. Следовательно, точки A, M, K и D лежат на одной окружности.

Аналогично для случая, когда точки P и M лежат по разные стороны от прямой AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4835

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .