Информация о задаче

Задача 55427

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54, причём катет AC больше, чем 10. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете BC, касается прямых AB и AC. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Пусть O — центр указанной окружности. Обозначьте AC = x и выразите через x тангенс угла OAC.

Решение

Пусть O — центр указанной окружности, M — её точка касания с прямой AB. Обозначим AC = AM = x, $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ OAC = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{OC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{6}{x}}$ ,

OB = $\displaystyle {\frac{OM}{\cos \angle MOB}}$ = $\displaystyle {\frac{OM}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{6\left(1+{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}\right)}{1-{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{6(x^{2}+36)}{x^{2}-36}}$ ,

BM = OM^.tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{72x}{x^{2}-36}}$ .

Поскольку периметр треугольника ABC равен 54, то AC + AM + CO + OB + BM = 54, или

2x + 6 + $\displaystyle {\frac{6(x^{2}+36)}{x^{2}-36}}$ + $\displaystyle {\frac{72x}{x^{2}-36}}$ ,

или

x³ - 21x² + 27^.36 = 0.

Разделим обе части этого уравнения на 27 и обозначим t = ${\frac{x}{3}}$ . Получим уравнение

t³ - 7t² + 36 = 0.

Его корни: (- 2), 6, 3. Поскольку x = 3t > 10, то x = 18. Тогда

tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , OB = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ , BC = 6 + $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{27}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.18^. $\displaystyle {\textstyle\frac{27}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{243}{2}}$ .

Ответ

${\frac{243}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4747