Информация о задаче

Задача 55368

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки M, K, N и L - середины сторон AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE(не обязательно выпуклого), P и Q - середины отрезков MN и KL. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.

Подсказка

$\overline{PQ}$ = (1/2)^.( $\overline{MK}$ + $\overline{NL}$ ).

Решение

$\overline{PQ}$ = (1/2)^.( $\overline{MK}$ + $\overline{NL}$ ) = (1/2)^.( $\overline{MB}$ + $\overline{BK}$ + $\overline{ND}$ + $\overline{DL}$ ) = = (1/2)^.((1/2)^. $\overline{AB}$ + (1/2)^. $\overline{BC}$ + (1/2)^. $\overline{CD}$ + (1/)2^. $\overline{DE}$ ) =

= (1/4)^.( $\displaystyle \overline{AB}$ + $\displaystyle \overline{BC}$ + $\displaystyle \overline{CD}$ + $\displaystyle \overline{DE}$ ) = (1/4)^. $\displaystyle \overline{AE}$ .

Следовательно, PQ = AE/4 и PQ || AE.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4517