Задача 54813

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

Решение

Пусть продолжения высот AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A2 , B2 и C2 соответственно, а H — точка пересечения высот. Тогда A1 , B1 и C1 — середины отрезков HA2 , HB2 и HC2 , поэтому A1B1 , A1C1 и B1C1 — средние линии треугольников A2HB2 , A2HC2 и B2HC2 . Значит, треугольник A2B2C2 подобен треугольнику A1B1C1 , а т.к. треугольник A1B1C1 — прямоугольный ( 52+122=132 ), то треугольник A2B2C2 — также прямоугольный, причём его угол, лежащий против наибольшей стороны, равен 90^o . Следовательно, диаметр описанной окружности треугольника A2B2C2 , а значит, и треугольника ABC , равен гипотенузе треугольника A2B2C2 , т.е. 26, а искомый радиус равен 13.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2759