Задача 54664

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки подобия ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 12 и 18 и пересекаются в точке O.
Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников AOB, BOC, COD и AOD.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

Решение

  Пусть M и N – середины сторон соответственно AB и BC; P и Q – точки пересечения медиан треугольников соответственно AOB и BOC;  AC = 12,
BD = 18.
  Поскольку  OP : OM = OQ : ON = 2 : 3,  то треугольники OPQ и OMN подобны, поэтому  PQ = ²/₃ MN,  а так как MN – средняя линия треугольника ABC, то
MN = ½ AC.  Следовательно,  PQ = ²/₃·½ AC = 4.
  Аналогично найдём остальные отрезки.

Ответ

4, 6, 4, 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2610