ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54596
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку пересечения двух окружностей проведена прямая, вторично пересекающая окружности в двух точках A и B.
Найдите геометрическое место середин отрезков AB.


Подсказка

Пусть C – общая точка двух данных окружностей, через которую проходит прямая AB, а D – вторая их общая точка. Тогда все треугольники ADB подобны между собой.


Решение

Пусть C и D – точки пересечения данных окружностей, M – середина указанного отрезка AB, проходящего через точку C. Все треугольники ADB подобны между собой по двум углам (например, все углы с вершиной A равны между собой, так как опираются на одну дугу). Значит, угол CMD равен одному из углов между DM и AB (в зависимости от того, по какую сторону от CD расположена точка M). Следовательно, искомое геометрическое место точек есть окружность, проходящая через точки C и D.


Ответ

Окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2491

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .