Информация о задаче

Задача 54569

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC, зная три точки A₁, B₁, C₁, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность.

Подсказка

Докажите, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на биссектрисах углов треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим случай, когда треугольники ABC и A₁B₁C₁ — остроугольные. Предположим, что треугольник ABC построен. Докажем, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на биссектрисах углов A, B и C треугольника ABC.

Пусть P — точка пересечения прямых AA₁ и B₁C₁. Тогда

$\displaystyle \angle$ APC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ AC₁ + $\displaystyle \cup$ CB₁ + $\displaystyle \cup$ CA₁) = $\displaystyle \angle$ ACC₁ + $\displaystyle \angle$ CBB₁ + $\displaystyle \angle$ CAA₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A = 90^o.

Остальное аналогично.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём через данные точки A₁, B₁ и C₁ прямые, перпендикулярные сторонам B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ треугольника A₁B₁C₁. Точки пересечения этих прямых с описанной окружностью треугольника A₁B₁C₁ есть вершины искомого треугольника. Действительно,

$\displaystyle \angle$ BAA₁ = $\displaystyle \angle$ BB₁A₁ = $\displaystyle \angle$ CC₁A₁ = $\displaystyle \angle$ CAA₁,

т.е. AA₁ — биссектриса угла BAC. Аналогично докажем, что BB₁ и CC₁ — биссектрисы углов ABC и ACB.

Аналогично для тупоугольных треугольников.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2464