ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 54562
УсловиеДаны прямая и на ней точки A и B. Найдите геометрическое место точек касания окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке A, другая — в точке B.
ПодсказкаЕсли M — точка касания указанных окружностей, то AMB = 90o.
РешениеЕсли M — точка касания окружностей, касающихся данной прямой в точках A и B, то AMB = 90o. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром AB. Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, отличную от A и B. Построим окружность, проходящую через точку P и касающуюся данной прямой в точке A. Если O1 — её центр, то
O1AB = 90o, O1PA = O1AP = 90o - PAB.
Пусть O2 — точка пересечения прямой O1P с перпендикуляром к
данной прямой, проведённым через точку B. Тогда
O2PB = 180o - O1PA - APB =
= 180o - (90o - PAB) - 90o = PAB = O2BP.
Следовательно, треугольник O2PB — равнобедренный,
O2P = O2B,
и окружность, с центром O2 и радиусом, равным O2P, касается
построенной ранее окружности в точке P, а данной прямой — в точке
B.
Таким образом, точка P является точкой касания двух окружностей, касающихся прямой AB в точках A и B.
ОтветОкружность без двух точек.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|