ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54562
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны прямая и на ней точки A и B. Найдите геометрическое место точек касания окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке A, другая — в точке B.


Подсказка

Если M — точка касания указанных окружностей, то $ \angle$AMB = 90o.


Решение

Если M — точка касания окружностей, касающихся данной прямой в точках A и B, то $ \angle$AMB = 90o. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром AB.

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, отличную от A и B. Построим окружность, проходящую через точку P и касающуюся данной прямой в точке A. Если O1 — её центр, то

$\displaystyle \angle$O1AB = 90o$\displaystyle \angle$O1PA = $\displaystyle \angle$O1AP = 90o - $\displaystyle \angle$PAB.

Пусть O2 — точка пересечения прямой O1P с перпендикуляром к данной прямой, проведённым через точку B. Тогда

$\displaystyle \angle$O2PB = 180o - $\displaystyle \angle$O1PA - $\displaystyle \angle$APB =

= 180o - (90o - $\displaystyle \angle$PAB) - 90o = $\displaystyle \angle$PAB = $\displaystyle \angle$O2BP.

Следовательно, треугольник O2PB — равнобедренный, O2P = O2B, и окружность, с центром O2 и радиусом, равным O2P, касается построенной ранее окружности в точке P, а данной прямой — в точке B.

Таким образом, точка P является точкой касания двух окружностей, касающихся прямой AB в точках A и B.


Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2457

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .