ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54501
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с тупым углом A, равным $ \alpha$, проведены высоты BN и CM. Найдите отношение площади четырёхугольника BMNC к площади треугольника ABC.


Подсказка

SBMNC = $ {\frac{1}{2}}$BN . CM sin$ \alpha$.


Решение

Обозначим BC = a. Если AK — высота треугольника ABC, то

AK = BKctg$\displaystyle \angle$BAK = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ctg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Тогда

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a2ctg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Из прямоугольного треугольника BNC находим, что

BN = BC cos$\displaystyle \angle$NBC = a cos$\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\right.$90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\right)$ = a sin$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Аналогично CM = a sin$ {\frac{\alpha}{2}}$. Тогда

SBMNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BN . CM sin$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a2sin2$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$sin$\displaystyle \alpha$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{BMNC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\sin \alpha}{{\rm ctg }\frac{\alpha}{2}}}$ = 4 sin4$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.


Ответ

4 sin4$ {\frac{\alpha}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2265

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .