ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54119
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Целочисленные треугольники ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

BB1 и CC1 – медианы треугольника ABC. На продолжении медианы CC1 за точку C1 отложен отрезок C1C2, равный 1/3 CC1. Оказалось, что  C2B1 = AB1.  Докажите, что медианы CC1 и BB1 взаимно перпендикулярны.


Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  CM = 2/3 CC1MC1 = 1/3 CC1 = C1C2C2M = 2/3 CC1 = CM,  то есть B1M – средняя линия треугольника ACC1.
  C2B1 – медиана треугольника AC2C, равная половине стороны AC. Следовательно, угол AC2C – прямой. Следовательно,  B1M || AC2CC2,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1882

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .