Задача 53785

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне BC взята точка D так, что  BD : DC = 1 : 4.
В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B?

Подсказка

Продолжите AD до пересечения с прямой, проходящей через вершину B параллельно AC.

Решение

  Пусть M – точка пересечения AD и BE. Через точку B проведём прямую, параллельную основанию AC, и продолжим AD до пересечения с этой прямой в точке T. Пусть  AE = a.  Тогда  AC = 2a.
  Из подобия треугольников BDT и CDA находим, что  BT = ¼ AC = ^a/₂.
  Из подобия треугольников AME и TMB находим, что  BM : ME = BT : AE = 1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1549