|
|
 |
Условие
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $DC = m$, $DA = n$. На стороне $BA$ взяты точки $A_1$ и $K$, а на стороне $BC$ – точки $C_1$ и $M$. Известно, что $BA_1 = a$, $BC_1 = c$, $BK = BM$ и что отрезки $A_1M$ и $C_1K$ пересекаются на диагонали $BD$. Найдите $BK$ и $BM$.
Решение
Рассмотрим случай, когда точка $A_1$ расположена между точками $A$ и $K$, а точка $C_1$ – между точками $B$ и $M$. Пусть $P$ – точка пересечения отрезков $KM$ и $BD$, $ \angle ADC = 2 \alpha$, $BK = BM = x.$
$\angle BKM = \angle BMK = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle ABC) = \alpha$. Проведём биссектрису $DQ$ треугольника $ADC$. Тогда $\angle ADQ = \angle BMP = \alpha$, $\angle QAD = \angle CAD = \angle CBD = \angle CBP$, поэтому треугольники $ADQ$ и $BMP$ подобны. Значит, $AD : BM = DQ : PM$. Аналогично $CD : KB = DQ : PK$. Из этих равенств следует, что $PK : PM = CD : AD = m : n.$
Поскольку отрезки $KC_1$, $MA_1$ и $BP$ пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы $\frac{BA_1}{A_1K} \cdot \frac{KP}{PM} \cdot \frac{MC_1}{C_1B} = 1$, или $\frac{a}{x-a} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{x-c}{c} = 1$. Отсюда $x = \frac{ac (n-m)}{cn-am}$. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Ответ
$x = \frac{ac (n-m)}{cn-am}$.Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1469 |
