Задача 53535

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.

Подсказка

Учитывая, что медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении  2 : 1,  найдите катеты треугольника.

Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан прямоугольного треугольника ABC с катетами AC и BC, P и Q – проекции точки M на AC и BC соответственно,
MP = 3,  MQ = 4,  K – середина BC.
  Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника, то  AC = 3PC = 3MQ = 12,  BC = 9.  Значит,  AB = 15,  S_ABC = ½ AC·BC = 54.
  Поскольку высота треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, равна  ^AC·BC/_AB = ³⁶/₅,  то искомое расстояние равно ¹²/₅.

Ответ

¹²/₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1264