Информация о задаче

Задача 53269

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через точку D и касающаяся сторон AB и BC равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD соответственно в точках M и N. Известно, что AM : DM = 1 : 3, CN : DN = 4 : 3. Найдите основание BC, если AB = 7 и AD = 6.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть P и Q — точки касания данной окружности со сторонами AB и BC трапеции ABCD. По теореме о касательной и секущей

AP² = AD^.AM = 6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ = 9.

Поэтому AP = 3. Тогда

BQ = BP = AB - AP = 7 - 3 = 4.

По теореме о касательной и секущей

QC² = CD^.CN = 7^.4 = 28.

Поэтому QC = 2 $\sqrt{7}$ . Следовательно,

BC = BQ + QC = 4 + 2 $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Ответ

4 + 2 $\sqrt{7}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	964