Информация о задаче

Задача 53233

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC известны, что AC = 4, AB = BC = 6. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точку D проведена окружность, касающаяся стороны AC в её середине и пересекающая отрезок AD в точке E. Найдите площадь треугольника DEC.

Подсказка

Примените теорему о касательной к секущей.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AD}{DB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Поэтому AD = ${\frac{2}{5}}$ AB = ${\frac{12}{5}}$ .

Пусть M — середина AC. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC $\displaystyle \sqrt{AB^{2}- AM^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4 $\displaystyle \sqrt{36 - 4}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{32}$ = 8 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

По теореме о касательной и секущей

AM² = AD^.AE, или 4 = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{12}{5} - DE}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ - DE $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{12}{5} - DE}\right)$ .

Отсюда находим, что DE = ${\frac{11}{15}}$ . Следовательно,

S_DEC = $\displaystyle {\frac{DE}{AB}}$ S_ABC = $\displaystyle {\frac{44\sqrt{2}}{45}}$ .

Ответ

${\frac{44\sqrt{2}}{45}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	928