Задача 53201

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A на биссектрисе угла с вершиной L опущены перпендикуляры AK и AM на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (K лежит между Q и L), а прямую ML – в точке S. Известно, что  ∠KLM = α,  KM = a,  QS = b.  Найдите KQ.

Подсказка

Точки P, K, Q и A лежат на одной окружности.

Решение

  Треугольник AKM – равнобедренный с углом ^α/₂ при основании, поэтому  AK = .
  Точки P и K лежат на окружности с диаметром AQ. Следовательно,  ∠AQS = ∠AKM = ∠ALK = ^α/₂.  Аналогично  ∠ASQ = ^α/₂.  Значит,треугольник QAS – тоже равнобедренный и  AQ = .
  По теореме Пифагора  KQ = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	896