Задача 53037

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C – прямой,  AC : AB = 4 : 5.  Окружность с центром на катете AC касается гипотенузы AB и пересекает катет BC в точке P, причём
BP : PC = 2 : 3.  Найдите отношение радиуса окружности к катету BC.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

  Положим  AC = 4x,  AB = 5x.  Тогда    BC = 3х,  BP = ^6x/₅,  PC = ^9x/₅.
  Пусть Q – вторая точка пересечения прямой BC с указанной окружностью, O – центр этой окружности, M – точка касания с гипотенузой. Тогда
BM² = BP(BP + PC + CQ) = ^144x²/₂₅.  Поэтому  AM = 5x – ^12x/₅ = ^13x/₅.  Из подобия треугольников AOM и ABC следует, что  OM : BC = 13 : 20.

Ответ

13 : 20.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	706