ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52856
УсловиеПусть M — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C треугольника ABC, а N — точка пересечения биссектрис внешнего угла B и внутреннего угла C. Докажите, что середина отрезка MN лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
ПодсказкаДокажите, что из середины отрезка MN сторона BC видна под углом, равным углу BAC.
РешениеПусть P — середина MN. Поскольку NBM = NCM = 90o, то точки M, N, B и С лежат на окружности с диаметром MN и центром P. Тогда
MNC = MBC = B, NMB = NCB = C.
Пусть Q — точка пересечения биссектрис BM и CN. По теореме о
внешнем угле треугольника
BQN = MNQ + NMQ = B + C.
Следовательно,
BNC = 90o - BQN = 90o - B - C = A.
Поэтому
BPC = A, т.е. точка P лежит на окружности,
описанной около треугольника ABC.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|