Информация о задаче

Задача 52518

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Окружность проходит через вершины A, B и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. На стороне AB взяты точки R и S, причём QR || CA, PS || CB. Докажите, что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.

Подсказка

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Решение

Продолжим QR до пересечения с окружностью в точке Q₁, а PS — в точке P₁. Тогда

$\displaystyle \angle$ PQQ₁ = $\displaystyle {\frac{\cup PA + \cup AQ_{1}}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ PSA = $\displaystyle {\frac{\cup PA + \cup BP_{1}}{2}}$ .

Поскольку

$\displaystyle \cup$ BP₁ = $\displaystyle \cup$ PQ = $\displaystyle \cup$ AQ₁,

то либо $\angle$ PQQ₁ = $\angle$ PSA, либо $\angle$ PQQ₁ + $\angle$ PSA = 180^o. Следовательно, точки P, Q, R и S лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	181