Информация о задаче

Задача 52499

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан вписанный четырехугольник ABCD. Противоположные стороны AB и CD при продолжении пересекаются в точке K, стороны BC и AD - в точке L. Докажите, что биссектрисы углов BKC и BLA перпендикулярны.

Подсказка

Угол между секущими равен полуразности высекаемых дуг. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых дуг.

Решение

Пусть биссектриса угла BKC пересекает окружность в точках P и R, а биссектриса угла BLA - в точках Q и M. Тогда

$\displaystyle \cup$ AM - $\displaystyle \cup$ DQ = $\displaystyle \cup$ MB - $\displaystyle \cup$ QCи $\displaystyle \cup$ DR - $\displaystyle \cup$ CP = $\displaystyle \cup$ AR - $\displaystyle \cup$ BP,или

$\displaystyle \cup$ AM + $\displaystyle \cup$ QC = $\displaystyle \cup$ BM + $\displaystyle \cup$ DQи $\displaystyle \cup$ AR + $\displaystyle \cup$ CP = $\displaystyle \cup$ DR + $\displaystyle \cup$ BP.

Следовательно,

$\displaystyle \cup$ AR + $\displaystyle \cup$ AM + $\displaystyle \cup$ CP + $\displaystyle \cup$ QC = $\displaystyle \cup$ BM + $\displaystyle \cup$ BP + $\displaystyle \cup$ DR + $\displaystyle \cup$ DQ = 180^o.

Поэтому угол между хордами PR и MQ равен 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	162