Задача 52437

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B – точка касания, а D и C – точки пересечения секущей с окружностью, причём точка D лежит между A и C. Известно, что BD – биссектриса угла B треугольника ABC и её длина равна R. Найдите расстояние от точки A до центра окружности.

Подсказка

Докажите, что угол BAD – прямой.

Решение

  Пусть O – центр окружности. Поскольку  BD = R,  то треугольник BOD – равносторонний, а  ∠ABD = ∠BCD = 30°.  Значит,  ∠ABC = 2∠ABD = 60°.
  Следовательно,  ∠BAC = 90°,  AB = ,  OA² = AB² + OB² = ⁷/₄ R².

Ответ

.

Замечания

AB можно найти также из теоремы о касательной и секущей:   AB² = AD·AC = ^R/₂·^3R/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	99