Задача 35643

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

У правильного 5000-угольника покрашено 2001 вершина.
Докажите, что найдутся три покрашенные вершины, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Подсказка

Если у правильного пятиугольника покрашены три вершины, то они лежат в вершинах равнобедренного треугольника.

Решение

В правильном 5000-угольнике разобьём все вершины на 1000 групп по пять вершин, расположенных через 999 последовательных вершин. Точки в каждой группе являются вершинами правильного пятиугольника. Покрашенных вершин всего  2001 = 2·1000 + 1,  следовательно, в какой-то из групп вершин покрашено не менее трёх. Но каждые три вершины правильного пятиугольника лежат в вершинах равнобедренного треугольника.

Замечания

Ср. с задачей 35758.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача