Условие
На плоскости нарисовано несколько попарно непараллельных прямых,
по каждой из которых в одном из двух направлений ползет жук
со скоростью 1 сантиметр в секунду. Докажите, что в какой-то
момент жуки окажутся в вершинах выпуклого многоугольника.
Подсказка
В проекции на прямую, по которой движется один из жуков, все
остальные жуки движутся медленнее него.
Решение
Рассмотрим одного из жуков, назовем его A.
Введем на плоскости координаты таким
образом, что жук A движется по оси Ox в
положительном направлении, за единицу времени примем 1 секунду,
за единицу расстояния - 1 сантиметр.
Пусть в начальный момент времени t
0=0 жук A находится
в точке с координатой a. Тогда в момент времени t
он будет находиться в точке с координатой x
A(t)=a+t.
Спроектируем движение каждого из жуков
на ось Ox. Проекция каждого из жуков, за исключением жука A,
будет двигаться равномерно со скоростью, строго меньшей 1.
Если точка оси Ox с координатой b - начальное положение проекции
некоторого жука, то движение его проекции определяется законом
x(t)=b+kt, где k<1 - некоторый постоянный коэффициент.
При достаточно большом t x
A(t) будет больше, чем x(t).
В самом деле, при t>(b-a)/(1-k) будет выполняться неравенство
a+t>b+kt.
Таким образом, начиная с некоторого момента времени,
x-ая координата жука A будет больше x-ой координаты любого
другого жука. Это означает, что если через жука A провести прямую,
перпендикулярную его движению, то с некоторого момента
t
A все остальные жуки
будут находиться по одну сторону от этой прямой.
Проведем такое же рассуждение для каждого из жуков.
Получим, что найдется такой момент времени
(максимум из моментов t
A для всех жуков),
что для каждого
из жуков все остальные жуки находятся по одну сторону от прямой,
проходящей
через него и перпендикулярной его движению.
Покажем, что в этот момент жуки находятся в вершинах
выпуклого многоугольника. Пусть это не так.
Возьмем выпуклую оболочку жуков, т.е.
наименьший выпуклый многоугольник M, содержащий всех жуков.
Вершинами этого многоуольника будут некоторые из жуков.
Пусть какой-то жук не является вершиной многоугольника M.
Тогда какую бы прямую мы через него ни провели, по каждую сторону
от этой прямой будет находиться хотя бы один жук, являющийся
вершиной M. С другой стороны, мы нашли одну прямую
(перпендикулярную его движению), проходящую
через этого жука, относительно которой все остальные жуки
находятся по одну сторону.
Полученное противоречие показывает, что все жуки будут
являться вершинами M, т.е.будут лежать в вершинах выпуклого
многоугольника.
Источники и прецеденты использования
