Задача 35191

Темы:    [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Число ребер выпуклого многогранника равно 99. Какое наибольшее число ребер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины?

Подсказка

Плоскость не пересекает хотя бы одно ребро в каждой грани.

Решение

Ответ - 66. Нужно доказать, что это число возможно, а большее - невозможно. Сначала докажем второе. Каждую грань плоскость пересекает не более, чем по двум ребрам, тем самым хотя бы одно ребро, принадлежащее грани, остается непересеченным. Поэтому в каждой грани непересеченные ребра составляют не меньше трети от общего числа ребер (в этой грани). Сложим все эти неравенства по всем граням. Учитывая, что каждое ребро принадлежит двум граням, получаем искомое утверждение. Приведем пример выпуклого многогранника, 66 ребер которого пересекает некоторая плоскость, не проходящая через его вершины. Рассмотрим правильный 100-угольник на плоскости; рассмотрим фрагмент его контура - ломаную L, состоящую из 32 сторон; ее вершины обозначим через C₁, C₁, ..., C₃₃. Через центр O 100-угольника проведем отрезок AB, перпендикулярный к плоскости и такой, что A и B лежат по разные стороны плоскости на равных расстояниях от нее. Построим многогранник: две его грани - треугольники AC₁B и AC₃₃B, а остальные грани - треугольники вида AC_iC_i+1 и BC_iC_i+1. У такого многогранника в точности 99 ребер. Нетрудно понять, что все ребра этого многогранника, имеющие вид AC_i и BC_i (этих ребер - 66), можно пересечь одной плоскостью.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача