Условие
Известно, что сумма трех плоских углов при
каждой вершине тетраэдра равна 180
0.
Докажите, что все его грани - равные треугольники.
Подсказка
Используйте развертку.
Решение
Пусть данный тетраэдр - ABCD.
Рассмотрим его развертку на плоскость ABC.
Пусть грани ABD, BCD и CAD при разворачивании тетраэдра перешли в
треугольники ABE, BCF и CAG.
Сумма углов EAB, BAC, CAG равна 180
0, поскольку
эти углы равны трем плоским углам тетраэдра при вершине A.
Следовательно, точка A лежит на прямой EG.
Аналогично доказывается, что точка B лежит на прямой EF и
точка C лежит на прямой FG.
Таким образом, развертка представляет собой треугольник EFG.
Точки A, B, C лежат на его сторонах GE, EF, FG.
Кроме того EA=AG, поскольку отрезки EA и AG равны ребру AD тетраэдра.
Аналогично, EB=BF и FC=CG.
Это означает, что AB, CB, CA - средние линии треугольника EFG.
Средние линии делят треугольник EFG на 4 равных треугольника
ABE, BCF, CAG и ABC, которые равны, соответственно граням
ABD, BCD, CAD и ABC тетраэдра ABCD.
Итак, все грани - равные треугольники.
Источники и прецеденты использования