|
|
 |
Условие
Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
Подсказка
Докажите, что прямые KL, MN и AC пересекаются в одной точке или параллельны; воспользуйтесь при этом теоремой Менелая.
Решение
Поскольку отрезки касательных, проведённых из одной точки к сфере, равны, можно обозначить AN = AK = a, BK = BL = b, CL = CM = c,
DM = DN = d. Заметим, что точки K и L лежат в плоскости (ABC). Рассмотрим два случая.
1) KL || AC. Тогда по теореме Фалеса a = c; значит, и MN || AC || KL.
2) Прямые KL и AC пересекаются в точке O. По теореме Менелая (для треугольника ABC и секущей KL) AK/KB·BL/LC·CO/AO = 1, т.е. CO/AO = b/a·c/b = c/a. Значит, AN/ND·DM/MC·CO/AO = a/d·d/c·c/a = 1. По теореме Менелая точки O, M, N лежат на одной прямой, следовательно, точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
