ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34905
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Площадь трапеции ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Подсказка

Имеются 4 фиксированные точки внутри квадрата, такие что каждая прямая, делящая площадь квадрата в отношении 2:3, проходит через одну из них.

Решение

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на две трапеции, основания которых лежат на сторонах квадрата и высоты равны стороне квадрата. Ясно, что прямая делит "среднюю линию" квадрата в отношении 2:3, поскольку отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий. На каждой из двух средних линий имеется 2 точки, делящие ее в отношении 2:3. В результате мы получаем, что каждая из девяти данных прямых проходит через одну из 4 указанных точек. По принципу Дирихле через одну из этих точек пройдет не менее трех прямых.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .