Условие
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число a (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).
Решение
Число a равно количеству путей, ведущих из вершины O треугольника Паскаля к месту A, где стоит число a (см. задачу 30710). Рассмотрим произвольную точку B указанного параллелограмма. Пусть в ней стоит число b, тогда в неё из точки O ведут b путей. Продолжим каждый из них следующим образом: сделаем один шаг "влево-вниз", потом пойдём "вправо-вниз" до диагонали, содержащей точку A, и спустимся по ней к A. Нетрудно видеть, что так получатся (причём ровно по одному разу) все пути, ведущие из O в A, кроме одного – ведущего из O сразу "вправо-вниз" до диагонали, содержащей A.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
|
Год издания |
1994 |
|
Название |
Ленинградские математические кружки |
|
Издательство |
Киров: "АСА" |
|
Издание |
1 |
|
глава |
|
Номер |
11 |
|
Название |
Комбинаторика-2 |
|
Тема |
Классическая комбинаторика |
|
задача |
|
Номер |
029 |
